代数的数全体の集合が体を成すことの証明(with体論)

《この記事はアドベントカレンダー「数学」(→https://adventar.org/calendars/3185 )の16日目の記事です。》 完全に私事なのですが、かなり前に「超越数論入門」と題して超越数論の基本をまとめました。そこでちょろっと紹介した「代数的数全体の集合は体を成す」という定理がありまして、知己から「証明が気になる」と言…